Đáp án:
$1) m=\frac{-9}{4}$
$2)$ \(\left[ \begin{array}{l}m=2+\sqrt{3}\\m=-2+\sqrt{3}\end{array} \right.\)
Giải thích các bước:
1) $x² - (2m+1)x+ m^2 -2=0 (1)$
Ta có: $a=1,b=-(2m+1),c=m^2-2$
$Δ=b^2-4ac$
$=(2m+1)^2-4.1.(m^2-2)$
$=4m^2+4m+1-4m^2+8$
$=4m+9$
Để phương trình đã cho có nghiệm thì $Δ\geq 0$
$→4m+9\geq0$
$⇔m\geq\frac{-9}{4}$
2)Áp dụng vi-et ta được:
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2m+1$
$x_1.x_2=\frac{c}{a}=m^2-2$
Ta có: $x_1^{2}+ x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=(2m+1)^2-2.(m^2-2)=4m+4m+1-2m^2+4$
Theo bài ra ta có:
$x_1.x_2=2(x_1+x_2)$
$⇔m^2-2=2(2m+1)$
$⇔m^2-2=4m+2$
$⇔m^2-2-4m-2=0$
$⇔m^2-4m-4=0$
$⇔m^2-4m=4$
$⇔(m-2)^2=5$
$⇔m^2-4m+4=5$
$⇔m^2-4m=1$
$⇔m^2-4m+1=0$
$⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}m=2+\sqrt{3}\\m=-2+\sqrt{3}\end{array} \right.\)
Vậy giá trị cần tìm là $m=2+\sqrt{3}$ và $m=-2+\sqrt{3}$
