`a)` Xét `ΔABM` và `ΔKBM` có :
`+BA=BK`$(gt)$
`+\hat{ABM}=\hat{KBM}`$(gt)$
`+` Chung $BM$
`=>ΔABM=ΔKBM(c.g.c)`
`b)ΔABM=ΔKBM(cmt)`
`=>AM=KM` ( $2$ cạnh `t`.`ư` )
`\hat{BAM}=\hat{BKM}=90°` ( $2$ cạnh `t`.`ư` )
`=>KM⊥BC`
Xét `ΔAME` và `ΔKMC` có :
`+\hat{MAE}+\hat{MKC}=90°`
`=>KM⊥BC`
Xét `ΔAME` và `KMC` có :
`\hat{MAE}+\hat{MKC}=90°(MA⊥BE;KM⊥BC)`
`AM=KM(cmt)`
`\hat{MAE}=\hat{MKC}`
`=>ΔAME=ΔKMC(g.c.g)`
`=>ME=MC` ( $2$ cạnh tương ứng )
`=>ΔMEC` cân ở `M`
`c)ΔABC` vuông tại `A`
`=>\hat{ABC}+\hat{ACB}=90°`
`=>\hat{ABC}+30°=90°`
`=>\hat{ABC}=90°-30°=60°`
`ΔAME=ΔKMC(cmt)`
`=>AE=KC` ( $2$ góc tương ứng )
Lại có : `BA=BA(gt)`
`=>BA+AE=BK+KC`
`=>BE=BC=>ΔBEC` cân ở `B`
Mà `\hat{EBC}=60°=>ΔBEC` đều
`d)ΔBEC` đều có :
`+)EC` là đường cao
`=>BK=CK=1/2 BE`
`ΔBCE` đều `=>\hat{BCE}=60°; BE=EC=BC`
Có :
$\begin{cases} AN ⊥ EK\\ BC ⊥ EK\end{cases}$
`=>`$AN//BC$
`=>\hat{EAN}=\hat{ABC}=60°` ( $2$ góc đồng vị )
`=>\hat{EAN}=\hat{BCE}=60°` ( $2$ góc đồng vị )
`=>\hat{AEN}=\hat{EAN}=\hat{ENA}=60°`
`=>ΔANE` đều `=>AE=EN`
Mà `AE = 1/2 BE ⇒ EN = 1/2 BE = 1/2 EC = 1/2 BC = CK`
`EN=1/2 EC=> N` là trung điểm của `EC=>CN=EN=CK`
`ΔCNK` cân tại `C`
Lại có : `\hat{KCN}=60°` `=>ΔCNK` đều
`=>ΔCNK=60°`
`⇒ \hat{CNK}=\hat{BEC}`
Mà $2$ góc này đồng vị `=>`$KN//BE$
Mà `BE⊥AC=>KN⊥AC` `->(đpcm)`