Đáp án:
Xét ΔOAB có OA + OB > AB
Xét ΔOAC có OA + OC > AC
Xét ΔOBC có OB + OC > BC
=> OA+OB+OA+OC+OB+C > AB+AC+BC
=> 2. (OA+OC+OC) > AB+AC+BC
$ \Rightarrow OA + OB + OC > \dfrac{{AB + AC + BC}}{2}$
Gọi OA cắt BC tại I,
Xét ΔOBI có OB< BI +IO => OB+OA< BI+AI
Xét ΔACI có AI < AC+IC => AI+IB < AC+BC
=> OB+OA < AC+BC (1)
Gọi OC cắt BA tại G
Xét ΔBGO có OB< GO+BG => OB +OC < GC+BG
Xét ΔAGC có GC < AG+AC => GC + BG < AB+AC
=> OB + OC < AB+AC (2)
Xét ΔGAO có OA < OG +AG => OA +OC < GC+AG
Xét ΔGBC có GC < GB+BC => GC+AG < AB + BC
=> OA+OC < AB+BC (3)
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\\
\Rightarrow OB + OA + OB + OC + OA + OC\\
< AC + BC + AB + AC + AB + BC\\
\Rightarrow OA + OB + OC < AB + AC + BC\\
Vậy\,\\
\dfrac{{AB + AC + BC}}{2} < OA + OB + OC < AB + AC + BC
\end{array}$
