$a)\Delta ABC$ cân tại $A$
$\Rightarrow AB=AC$
Xét $\Delta AIB$ và $\Delta AIC$
AI: chung
$AB=AC\\ \widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90^o\\ \Rightarrow \Delta AIB = \Delta AIC$
$b)\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AI$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, phân giác
$\Rightarrow AI$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$
$c)AI$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$
$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$
Xét $\Delta AIE$ và $\Delta AIF$
$AI:$ chung
$AE=AF\\ \widehat{A_1}=\widehat{A_2}\\ \Rightarrow \Delta AIE= \Delta AIF\\ d) \Delta AIE= \Delta AIF\\ \Rightarrow \widehat{I_2}=\widehat{I_3}$
Mà $\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=90^o=\widehat{I_3}+\widehat{I_4}$
$\Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_4}(1)\\ \Delta AIE= \Delta AIF\\ \Rightarrow \widehat{AFI}=\widehat{AEI}=90^0\\ \Rightarrow IF \perp AC$
Mà $BM \perp AC$
$\Rightarrow BM // IF\\ \Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{I_4}(2)\\ (1)(2)\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{I_1}$
Mà $\widehat{B_1}+\widehat{H_1}=90^o=\widehat{I_1}+\widehat{I_2}$
$\Rightarrow \widehat{H_1}=\widehat{I_2}$
$\Rightarrow \Delta HOI$ cân tại $O$