Đáp án:
$A.\, x + y + z - 1 = 0$ hoặc $-23x + 37y + 17z + 23 =0$
Giải thích các bước giải:
$A(1;0;0)\quad B(0;-2;3)\quad C(1;1;1)$
Gọi $\overrightarrow{n} = (a;b;c)$ là $VTPT$ của $(P)$
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;0;0)$ nhận $\overrightarrow{n} = (a;b;c)$ làm $VTPT$ có dạng:
$(P): a(x-1) + by + cz = 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (-1;-2;3)$
Do $A,\, B \in (P)$
nên $\overrightarrow{AB}$ là $VTCP$ của $(P)$
$\to \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{n}$
$\to -a - 2b + 3c = 0$
$\to a = -2b + 3c\quad (*)$
Mặt khác:
$\quad d(C;(P)) = \dfrac{2}{\sqrt3}$
$\to \dfrac{|a(1 - 1) + b.1 + c.1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \dfrac{2}{\sqrt3}$
$\to \sqrt3|b+c| = 2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
$\to 3(b+c)^2 = 4(a^2 + b^2 + c^2)$
$\to 4a^2 + b^2 + c^2 - 6bc = 0\quad (**)$
Thay $(*)$ vào $(**)$ ta được:
$\quad 4(-2b + 3c)^2 + b^2 + c^2 - 6bc = 0$
$\to 17b^2 + 37c^2 -54bc =0$
$\to (17b- 37c)(b- c)=0$
$\to \left[\begin{array}{l}c = \dfrac{17}{37}b\\b = c\end{array}\right.$
$+)\quad Với\,\,c = \dfrac{17}{37}b$ thay vào $(*)$ ta được:
$\quad a=-2b + 3\cdot \dfrac{17}{37}b$
$\to a = -\dfrac{23}{37}b$
Khi đó:
$(P): -\dfrac{23}{37}b(x-1) + by + \dfrac{17}{37}bz =0$
$\to (P): -23x + 37y + 17z + 23 =0$
$+)\quad Với\,\,b= c$ thay vào $(*)$ ta được:
$\quad a = - 2b + 3b$
$\to a = b$
Khi đó:
$(P): b(x-1) + by + bz = 0$
$\to (P): x + y + z - 1 = 0$
Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ cần tìm là:
$x + y + z - 1 = 0$ hoặc $-23x + 37y + 17z + 23 =0$
