Lời giải:
a) Gọi $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ABI$
Ta có:
$IM$ là tiếp tuyến của $(O')$ tại $I\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{AIM}=\widehat{ABI}=\dfrac12sđ \mathop{AI}\limits^{\displaystyle\frown}$
Ta lại có:
$\widehat{ABI}=\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=\dfrac12sđ \mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$
Do đó:
$\widehat{AIM}=\widehat{ACD}$
mà $\widehat{AIM}$ và $\widehat{ACD}$ là hai góc đồng vị
nên $IM//CD$
hay $MN//CD$
b) Ta có:
$MN//CD$ (câu a)
$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ADC}$ (đồng vị)
Ta lại có:
$\widehat{ADC} +\widehat{ABC}= 180^\circ$ ($ABCD$ là tứ giác nội tiếp)
Do đó:
$\widehat{AMN} +\widehat{ABC}=180^\circ$
Hay $\widehat{AMN} +\widehat{ABN}=180^\circ$
Xét tứ giác $ABNM$ có:
$\widehat{AMN} +\widehat{ABN}=180^\circ\quad (cmt)$
Do đó $ABNM$ là tứ giác nội tiếp