$\sqrt{(x+5)(3-x)}=\sqrt{-x^2-2x+15}=t(t\ge 0)(1)$.
Ta có $t^2=-x^2-2x+15=-(x+1)^2+16\Rightarrow t\le 4$ (do $t \ge 0$).
Dấu bằng xảy ra khi $x=-1\in[-5;3]$ nên
$\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 5;3{\rm{]}}} \;t = 4$
Bất phương trình trở thành:
$\sqrt{(x+5).(3-x)} -x^2-2x-a \le 0\Leftrightarrow t^2-15+t-a \le 0(2)$
$\Leftrightarrow a \ge t^2+t-15$
Bất phương trình (1) có nghiệm đúng $\forall x \in [-5;3]\Leftrightarrow$ Bất phương trình (2) có nghiệm đúng $\forall t \in[0;4]$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow a\ge t^2+t-15 \forall t\in[0;4]$
$\Leftrightarrow a \ge \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} 0;5{\rm{]}}} \;t^2+t-15=5$
Vậy $a\ge 5$ thì bất phương trình có nghiệm đúng $\forall x\in[-5;3]$
