`a)` Ta có:
`\hat{ADB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>BD`$\perp AE$
`\hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>AC`$\perp BE$
Mà $AC$ cắt $BD$ tại $K$
`=>K` là trực tâm $∆BAE$
`=>EK`$\perp AB$ (đpcm)
$\\$
`b)` $D$ là điểm chính giữa cung $AC$
`=>\stackrel\frown{AD}=\stackrel\frown{CD}`
$\\$
`∆ACE` vuông tại $C$
`=>\hat{AEC}+\hat{CAE}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{AEB}+\hat{CAE}=90°` $(1)$
$∆ADB$ vuông tại $D$
`=>\hat{BAD}+\hat{ABD}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{BAE}+\hat{ABD}=90°` $(2)$
$\\$
Mà `\hat{CAE}=1/ 2sđ\stackrel\frown{CD}` (góc nội tiếp chắn cung $CD$)
`\qquad \hat{ABD}=1/ 2sđ\stackrel\frown{AD}` (góc nội tiếp chắn cung $AD$)
`\qquad \stackrel\frown{CD}=\stackrel\frown{AD}` (c/m trên)
`=>\hat{CAE}=\hat{ABD}` $(3)$
Từ `(1);(2);(3)=>\hat{AEB}=\hat{BAE}`
`=>∆BAE` cân tại $B$ (đpcm)
$\\$
`c)` $∆ABC$ vuông tại $C$
`=>\hat{ABC}+\hat{BAC}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{ABC}=90°-\hat{BAC}=90°-30°=60°`
`=>\hat{ABE}=60°`
Mà $∆BAE$ cân tại $B$ (câu b)
`=>∆BAE` đều
Vì $K$ là trực tâm $∆BAE$ (câu a)
`=>K` đồng thời là trọng tâm $∆BAE$
`\qquad AC` vừa là đường cao và trung tuyến $∆BAE$
`=>AK=2/ 3 AC;KC=1/ 3 AC`
`=>AK=2KC` (đpcm)
