Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\widehat {BNC} = \widehat {BMC} = {90^0}$
$ \Rightarrow BNMC$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
$\to$ Tâm đường ròn ngoại tiếp tứ giác $BNMC$ là trung điểm của $BC$
b) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta ABC\\
\left\{ \begin{array}{l}
BM \bot AC = M\\
CN \bot AB = N\\
BM \cap CN = H
\end{array} \right.
\end{array}$
$ \Rightarrow H$ là trực tâm của tam giác $ABC$
$\to AH\bot BC$ tại $K$
c) Ta có:
Tứ giác $BNMC$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {CNM} = \widehat {CBM}(1)$ (2 góc nội tiếp chắn cung CM)
Lại có:
$\widehat {BNH} + \widehat {BKH} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$
$ \Rightarrow BNHK$ là tứ giác nội tiếp.
$ \Rightarrow \widehat {HBK} = \widehat {HNK}$(2 góc nội tiếp chắn cung HK)
$ \Rightarrow \widehat {CBM} = \widehat {CNK}\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {CNM} = \widehat {CNK}$
$ \Rightarrow NC$ là phân giác góc $\widehat {KNM}$
d) Ta có:
$HF\cap BC= I$ là trung điểm mỗi đường
$\to BHCF$ là hình bình hành
$\to CF//BH; BF//CH$
$\to CF\bot AC=C; BF\bot AB=B$
$ \to \widehat {ABF} + \widehat {ACF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$
$ \to ABCF$ la tứ giác nội tiếp.
Mà tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$
$\to F\in (O)$
