`b)` Gọi $BE;CF$ là hai đường cao của $∆ABC$ $(E\in AC;F\in AB)$
`=>\hat{AEH}=\hat{AFH}=90°`
`=>\hat{AEH}+\hat{AFH}=90°+90°=180°`
`=>AEHF` nội tiếp
`=>\hat{EAF}+\hat{EHF}=180°`
`=>\hat{EHF}=180°-\hat{EAF}=180°-60°=120°`
`=>\hat{BHC}=\hat{EHF}=120°` (hai góc đối đỉnh)
Ta có:
`\qquad \hat{BAC}=60°=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BC}`
`\qquad `(góc nội tiếp chắn cung $BC$)
`=>sđ\stackrel\frown{BC}=60°.2=120°`
`\qquad \hat{BOC}=sđ\stackrel\frown{BC}=120°`
`\qquad ` (góc ở tâm chắn cung $BC$)
$\\$
`=>\hat{BHC}=\hat{BOC}=120°`
`=>BHOC` nội tiếp (có $2$ đỉnh kề nhau $H;O$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới hai góc bằng nhau)
$\\$
$\quad ABIC$ nội tiếp $(O)$
`=>\hat{BIC}+\hat{BAC}=180°`
`=>\hat{BIC}=180°-\hat{BAC}=180°-60°=120°`
$\\$
$\quad OB=OC$ (=bán kính của $(O)$)
`=>∆OBC` cân tại $O$
Mà $OM$ là trung tuyến $∆OBC$ (do $M$ là trung điểm $BC$)
`=>OM` đồng thời là phân giác, trung trực của $∆OBC$
Vì $I\in OM$
`=>IB=IC`
$\quad OM$ là phân giác `\hat{BOC}`
`=>\hat{BOI}=\hat{COI}=1/ 2 \hat{BOC}=1/ 2 . 120°=60°`
$\\$
Xét $∆OBI$ và $∆OCI$ có:
$\quad OI$ chung
$\quad OB=OC$
$\quad IB=IC$ (c/m trên)
`=>∆OBI=∆OCI` (c-c-c)
`=>\hat{OIB}=\hat{OIC}`
Vì tia $IO$ nằm giữa hai tia $IB$ và $IC$
`=>IO` là phân giác `\hat{BIC}`
`=>\hat{OIB}=\hat{OIC}=1/ 2 \hat{BIC}=1/ 2 .120°=60°`
$\\$
$\quad ∆OBI$ có: `\hat{BOI}=\hat{OIB}=60°`
`=>∆OBI` đều
`=>IB=IO`
Tương tự c/m được: $IC=IO$
`=>IB=IO=IC`
`=>B;O;C` cùng thuộc đường tròn $(I)$
Mà $B;H;O;C$ cùng thuộc một đường tròn (do $BHOC$ nội tiếp đã c/m)
`=>B;H;O;C` cùng thuộc đường tròn $(I)$ (đpcm)
