Giải thích các bước giải:

19,

 Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt \(m{x^3} - {x^2} - 2x + 8m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt

Ta có:

\(\begin{array}{l}
m{x^3} - {x^2} - 2x + 8m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
 \Leftrightarrow m\left( {{x^3} + 8} \right) - \left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow m\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {m{x^2} - 2mx - x + 2m} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó, phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác -2.

Suy ra:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
Δ> 0\\
m.{\left( { - 2} \right)^2} - \left( {2m + 1} \right).\left( { - 2} \right) + 2m \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2m + 1} \right)^2} - 4.m.2m > 0\\
4m + 4m + 2 + 2m \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{m^2} + 4m + 1 - 8{m^2} > 0\\
10m + 2 \ne 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 4{m^2} + 4m + 1 > 0\\
m \ne  - \frac{1}{5}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} < m < \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\\
m \ne  - \frac{1}{5}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} < m < \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)

Vậy \(\frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} < m < \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)

Bài 20:

Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) thì phương trình đã cho trờ thành:

\(\left( {m + 1} \right){t^2} - 2\left( {2m - 3} \right)t + 6m + 5 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Nhận xét, với mỗi nghiệm \(t > 0\) cho ta 2 nghiệm \(x\) phân biệt

Phương trình đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thỏa mãn \({x_1} < {x_2} < {x_3} < 1 < {x_4}\) khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\)

Do đó, 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
Δ' > 0\\
{t_1} + {t_2} > 0\\
{t_1}.{t_2} > 0\\
\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_1} - 1} \right) < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2m - 3} \right)^2} - \left( {m + 1} \right).\left( {6m + 5} \right) > 0\\
\frac{{2.\left( {2m - 3} \right)}}{{m + 1}} > 0\\
\frac{{6m + 5}}{{m + 1}} > 0\\
\frac{{6m + 5}}{{m + 1}} - \frac{{2\left( {2m - 3} \right)}}{{m + 1}} + 1 < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{m^2} - 12m + 9 - 6{m^2} - 11m - 5 > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{3}{2}\\
m <  - 1
\end{array} \right.\\
\frac{{6m + 5 - 4m + 6 + m + 1}}{{m + 1}} < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2{m^2} - 23m + 4 > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{3}{2}\\
m <  - 1
\end{array} \right.\\
\frac{{3m + 12}}{{m + 1}} < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ - 23 - \sqrt {561} }}{4} < m < \frac{{ - 23 + \sqrt {561} }}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{3}{2}\\
m <  - 1
\end{array} \right.\\
 - 4 < m <  - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow  - 4 < m <  - 1
\end{array}\)

Vậy \( - 4 < m <  - 1\)