Đáp án:
\(M\left( {\dfrac{{16}}{9}; - \dfrac{5}{9}} \right)\).
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}P\left( P \right) = 2.3 + 2 - 3 = 5 > 0\\P\left( Q \right) = 2.4 + \left( { - 1} \right) - 3 = 4 > 0\\ \Rightarrow P\left( P \right).P\left( Q \right) > 0\end{array}\)
\( \Rightarrow P,\,\,Q\) nằm cùng phía đối với \(\Delta \).
Gọi \(P'\) là điểm đối xứng với \(P\) qua \(\Delta \)
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua P và song song với \(\Delta \)
Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(x - 2y + c = 0\)
\(P\left( {3;2} \right) \in d \Rightarrow 3 - 2.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1\).
\( \Rightarrow \left( d \right):\,\,x - 2y + 1 = 0\).
Gọi \(H = d \cap \Delta \Rightarrow H\left( {1;1} \right)\) là trung điểm của PP’.
\( \Leftrightarrow P'\left( { - 1;0} \right)\).
Theo tính chất đối xứng ta có: \(MP = MP'\)
\( \Rightarrow MP + MQ = MP' + MQ \ge P'Q\)
\( \Rightarrow {\left( {MP + MQ} \right)_{\min }} = P'Q \Leftrightarrow M,\,\,P',\,\,Q\) thẳng hàng.
\( \Rightarrow M = P'Q \cap \Delta \).
Phương trình đường thẳng \(P'Q\) là:
\(\dfrac{{x + 1}}{{4 + 1}} = \dfrac{{y - 0}}{{ - 1 - 0}} \Leftrightarrow - x - 1 = 5y \Leftrightarrow x + 5y + 1 = 0\).
Vậy \(M\left( {\dfrac{{16}}{9}; - \dfrac{5}{9}} \right)\).
