Đáp án:
$A.\,\dfrac{2\sqrt2+3}{3}$
Giải thích các bước giải:
$\quad F(x)=\displaystyle\int\sqrt{\ln^2x +1}\dfrac{\ln x}{x}dx$
Đặt $u =\ln^2x +1$
$\to du = \dfrac{2\ln x}{x}dx$
Ta được:
$\quad F(x)=\dfrac12\displaystyle\int \sqrt udu$
$\to F(x)=\dfrac13u^{\tfrac32} + C$
$\to F(x)= \dfrac13\sqrt{(\ln^2x +1)^3} + C$
Ta lại có:
$\quad F(1)=\dfrac43$
$\to \dfrac13\sqrt{(\ln^21 +1)^3} + C =\dfrac43$
$\to C +\dfrac13 =\dfrac43$
$\to C = 1$
Do đó:
$\quad F(x)= \dfrac13\sqrt{(\ln^2x +1)^3} + 1$
Vậy $F(e)= \dfrac13\sqrt{(\ln^2e+1)^3} + 1= \dfrac{2\sqrt2+3}{3}$
