a)
Xét $\Delta ADN$ vuông tại $D$ và $\Delta ABM$ vuông tại $B$ , ta có:
$DN=BM\,\,\left( \,gt\, \right)$
$AD=AB$ ( vì $ABCD$ là hình vuông )
$\to \Delta ADN=\Delta ABM\,\,\left( \,cgv\,-\,cgv\, \right)$
$\to AN=AM$ ( hai cạnh tương ứng )
$\to \Delta MAN$ cân tại $A$
b)
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta PDA$, ta có:
$\widehat{ABM}=\widehat{PDA}=90{}^\circ $
$\widehat{BAM}=\widehat{DPA}$ ( cùng phụ $\widehat{DAP}$ )
$\to \Delta ABM\backsim\Delta PDA\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$
$\to \dfrac{BA}{DP}=\dfrac{BM}{DA}$
$\to BA.DA=BM.DP$
$\to BC.BC=BM.DP$
$\to B{{C}^{2}}=BM.DP$