Cho phương trình: `x^2-2mx-1=0`
`a)` Để phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt thì: `Delta>0`
`Delta=(-2m)^2-4.1.(-1)`
`<=>4m^2+4>0` `(∀m∈R)`
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt `∀m`
`b)` Theo phần, phương trình có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
+) Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-1\end{cases}$
+) Lại có `x_1^2+x_2^2=7`
`<=>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=7`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7`
`<=>(2m)^2-2.(-1)=7`
`<=>4m^2+2-7=0`
`<=>4m^2-5=0`
`<=>(2m-\sqrt{5})(2m+\sqrt{5})=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}2m-\sqrt{5}=0\\2m+\sqrt{5}=0\end{array} \right.\) `<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\m=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\end{array} \right.\)
Vậy khi `m=\frac{\sqrt{5}}{2};m=-\frac{\sqrt{5}}{2}` thì phương trình có 2 nghiệm `x_1;x_2` thoả mãn hệ thức `x_1^2+x_2^2=7.`
