Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
{a^3} + {b^3}\\
= \left( {{a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)} \right) - 3ab\left( {a + b} \right)\\
= \left( {{a^3} + {b^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2}} \right) - 3ab\left( {a + b} \right)\\
= \left( {{a^3} + {a^2}b + 2{a^2}b + 2a{b^2} + a{b^2} + {b^3}} \right) - 3ab\left( {a + b} \right)\\
= \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) - 3ab\left( {a + b} \right)\\
= \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + ab + ab + {b^2}} \right) - 3ab\left( {a + b} \right)\\
= \left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) - 3ab\left( {a + b} \right)\\
= {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)
\end{array}$
Mà lại có:
$\begin{array}{l}
{a^3} + {b^3} = {2016^{2017}}\\
\Rightarrow \left( {{a^3} + {b^3}} \right) \vdots 3\left( {Do:2016 \vdots 3} \right)
\end{array}$
Như vậy:
$\begin{array}{l}
{a^3} + {b^3} \vdots 3\\
\Leftrightarrow \left( {{{\left( {a + b} \right)}^3} - 3ab\left( {a + b} \right)} \right) \vdots 3\\
\Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} \vdots 3\left( \text{Do 3 là số nguyên tố}\right)\\
\Leftrightarrow a + b \vdots 3
\end{array}$
Ta có điều phải chứng minh.
