Đáp án:
1. Kí hiệu : `∑ab = ab + bc + ca`
Ta có
`VT = ∑ a/(1 + 9b^2) = ∑a - ∑ (9ab^2)/(1 + 9b^2) = 1 - ∑ (9ab^2)/(1 + 9b^2)`
Áp dụng BĐT Cô si ta có
`1 + 9b^2 ≥ 2\sqrt{1 . 9b^2} = 6b`
`-> (9ab^2)/(1 + 9b^2) ≤ (9ab^2)/(6b) = (3ab)/2`
`-> VT ≥ 1 - ∑ (3ab)/2 = 1 - (3∑ab)/2`
Áp dụng BĐT quen thuộc `3∑ab ≤ (∑a)^2`
`-> VT ≥ 1 - (∑a)^2/2 = 1 - 1^2/2 = 1/2 = VP (đpcm)`
Dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c = 1/3`
Bài 2 : ` ĐK : x ≥ 2`
Đặt `\sqrt{x - 2} = a (a >= 0)`
Ta có
`A = (x + 3\sqrt{x - 2})/(x + 4\sqrt{x - 2} + 1) = (x - 2 + 3\sqrt{x - 2} + 2)/(x - 2 + 4\sqrt{x - 2} + 3)`
`= (a^2 + 3a + 2)/(a^2 + 4a + 3) = [(a + 1)(a + 2)]/[(a + 1)(a + 3)] = (a + 2)/(a + 3) = 1 - 1/(a + 3)`
Do `a >= 0 -> a + 3 >= 3 -> 1/(a + 3) <= 1/3 -> 1 - 1/(a + 3) >= 1 - 1/3 = 2/3`
Dấu "=" xảy ra `<=> a = 0 <=> \sqrt{x - 2} = 0 <=> x = 2`
Vậy $Min_{A}$ `= 2/3 <=> x = 2`
Giải thích các bước giải:
