`a)` Ta có:
`\hat{BAE}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BE}` (góc nội tiếp chắn cung $BE$)
`\hat{DFE}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{DE}` (góc nội tiếp chắn cung $DE$)
Mà `\stackrel\frown{BE}=\stackrel\frown{DE}` (do $E$ là điểm chính giữa cung $DB$)
`=>\hat{BAE}=\hat{DFE}`
`=>\hat{CAG}=\hat{CFG}`
`=>AGCF` nội tiếp (vì có hai đỉnh kề nhau $A;F$ cùng nhìn cạnh $CG$ dưới hai góc bằng nhau)
$\\$
`b)` $AGCF$ nội tiếp (câu a)
`=>\hat{CGF}=\hat{CAF}` (cùng chắn cung $CF$)
Mà `\hat{CAF}=\hat{BDF}` (cùng chắn cung $BF$) của $(O)$)
`=>\hat{CGF}=\hat{BDF}`
Vì `\hat{CGF};\hat{BDF}` ở vị trí đồng vị
`=>CG`//$BD$ $(1)$
$\\$
Ta có:
`\qquad \hat{ADB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>AD`$\perp BD$ $(2)$
Từ `(1);(2)=>CG`$\perp AD$
$\\$
`c)` Gọi $I$ là giao điểm của $DF$ và $AB$
Xét $∆IDB$ có $CG$//$BD$
`=>{GD}/{GI}={CB}/{CI}` (định lý Talet) $(3)$
$\\$
Xét $∆CHI$ và $∆ADI$ có:
`\hat{CIH}=\hat{AID}` (đối đỉnh)
`\hat{CHI}=\hat{ADI}` (so le trong do $CH$//$AD$)
`=>∆CHI∽∆ADI` (g-g)
`=>{CH}/{CI}={AD}/{AI}` $(4)$
$\\$
Ta có:
`\hat{DAG}=1/ 2sđ\stackrel\frown{DE}` (góc nội tiếp chắn cung $DE$)
`\hat{GAI}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BE}` (góc nội tiếp chắn cung $BE$)
Mà `\stackrel\frown{BE}=\stackrel\frown{DE}` (do $E$ là điểm chính giữa cung $DB$)
`=>\hat{DAG}=\hat{GAI}`
Do tia $AG$ nằm giữa hai tia $AD$ và $AI$
`=>AG` là phân giác của `\hat{DAI}`
`=>{GD}/{GI}={AD}/{AI}` $(5)$
$\\$
Từ `(3);(4);(5)=>{CH}/{CI}={CB}/{CI}`
`=>CH=CB`
