Giải thích các bước giải:
Ta có:
+) Nếu $p=2$ thì $p+6=8\vdots 2$(loại)
+) Nếu $p=3$ thì $p+6=9\vdots 3$(loại)
+) Nếu $p>3$ thì $\left[ \begin{array}{l}
p = 3k + 1\\
p = 3k + 2
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
Ta có:
+) TH1: $p = 3k + 1$$\left( {k \in Z} \right)$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{p^2} + 2021\\
= {\left( {3k + 1} \right)^2} + 2021\\
= 9{k^2} + 6k + 2022\\
= 3\left( {3{k^2} + 2k + 674} \right) \vdots 3\\
\Rightarrow {p^2} + 2021 \vdots 3
\end{array}$
$ \Rightarrow {p^2} + 2021$ là hợp số.
+) TH2: $p = 3k + 2$$\left( {k \in Z} \right)$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{p^2} + 2021\\
= {\left( {3k + 2} \right)^2} + 2021\\
= 9{k^2} + 12k + 2025\\
= 3\left( {3{k^2} + 2k + 675} \right) \vdots 3\\
\Rightarrow {p^2} + 2021 \vdots 3
\end{array}$
$ \Rightarrow {p^2} + 2021$ là hợp số.
Như vậy: Với mọi $p$ là số nguyên tố và $p+6$ là số nguyên tố thì $p^2+2021$ là hợp số.
