Đáp án + giải thích các bước giải:
Xét `ΔABC` có: $\left\{\begin{matrix} AD \text{ là đường cao }(1)\\BE \text{ là đường cao }(2)\\ CF \text{ là đường cao }(3) \\ G \text{ là trung điểm AB }(4)\\H \text{ là trung điểm AC }(5)\\ I \text{ là trung điểm BC }(6) \\ J \text{ là trực tâm }(7) \\K \text{ là trung điểm AJ }(8) \\ L \text{ là trung điểm BJ }(9) \\ M \text{ là trung điểm CJ }(10)\\ N\text{ là giao của GM và LH}\end{matrix}\right.$
Từ `(4)` và `(5)` ta có `GH` là đường trung bình của `ΔABC`
$\to \left\{\begin{matrix} GH//BC\\GH=\dfrac{BC}{2} \end{matrix}\right. (11) $
Từ `(9)` và `(10)` ta có `LM` là đường trung bình của `ΔJBC`
$\to \left\{\begin{matrix} LM//BC\\LM=\dfrac{BC}{2} \end{matrix}\right. (12) $
Từ `(11)` và `(12)` ta có `GH=LM` và `GH////LM`
`-> LMGH` là hình bình hành `(13)`
Từ `(4)` và `(9)` ta có `GL` là đường trung bình của `ΔABJ`
`->GL////AJ`
`->GL////AD`
kết hợp với `(1)`
`->GL⊥BC `
mà `GH////LM////BC` (hình bình hành)
`->GL⊥LM`
kết hợp với `(13)`
`->LMGH` là hình chữ nhật `(***)`
`->LMGH` nội tiếp đường tròn đường kính `GM`
Từ `(4)` và `(6)` ta có `GI` là đường trung bình của `ΔABC`
$\to \left\{\begin{matrix} GI//AC\\GI=\dfrac{AC}{2} \end{matrix}\right. (14) $
Từ `(8)` và `(10)` ta có `KM` là đường trung bình của `ΔAJC`
$\to \left\{\begin{matrix} KM//AC\\KM=\dfrac{AC}{2} \end{matrix}\right. (15) $
Từ `(14)` và `(15)` ta có `GI=KM` và `GI////KM `
`->GIKM` là hình bình hành `(16)`
Từ `(4)` và `(8)` ta có GK là đường trung bình của ΔABJ
`->GK////BJ`
`->GK////BE `
kết hợp với `(2)`
`->GK⊥AC`
mà `GI////KM////AC` (hình bình hành)
`->GK⊥KM `
kết hợp với `(16)`
`->GKMI` là hình chữ nhật `(******)`
`->GKMI` nội tiếp đường tròn đường kính `GM `
Từ `(1)` ta có `KD⊥DI`
`->ΔKDI` vuông tại `D`
`->K,D,I` nội tiếp đường tròn đường kính `KI` `(*********)`
Từ `(2)` ta có `LE⊥EH`
`->ΔLEH` vuông tại `E`
`->L,E,H` nội tiếp đường tròn đường kính `LH` `(************)`
Từ `(3)` ta có `MF⊥FG`
`->ΔMFG` vuông tại `F`
`->M,F,G` nội tiếp đường tròn đường kính `MG` `(***************) `
Từ `(***)` và `(******)` ta có `GM=LH=KI` và `N` là trung điểm của cả ba đoạn thẳng này `(@)`
Kết hợp `(@)` với `(***),(******),(*********),(************),(***************)` ta có `G,F,K,E,H,M,I,D,L` cùng thuộc đường tròn tâm `N` đường kính `KI`
Ta có điều phải chứng minh
