Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
E = \dfrac{1}{{1.6}} + \dfrac{1}{{6.11}} + \dfrac{1}{{11.16}} + ... + ...\\
= \dfrac{1}{{1.6}} + \dfrac{1}{{6.11}} + \dfrac{1}{{11.16}} + ... + \dfrac{1}{{a\left( {a + 5} \right)}} + ...
\end{array}$
(Với $\dfrac{1}{{a\left( {a + 5} \right)}}$ là số hạng thứ 100 của tổng E)
Nhận xét:
Để $\dfrac{1}{{a\left( {a + 5} \right)}}$ là số hạng thứ 100 của tổng E
$ \Leftrightarrow 1,6,11,...,a$ là dãy số cách đều $5$ đơn vị và $a$ là số hạng thứ $100$ của dãy này
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{a - 1}}{5} + 1 = 100\\
\Leftrightarrow a = 496
\end{array}$
Nên số hạng thứ $100$ của $E$ là: $\dfrac{1}{{496.501}}$
b) Ta có:
$\begin{array}{l}
E = \dfrac{1}{{1.6}} + \dfrac{1}{{6.11}} + \dfrac{1}{{11.16}} + ... + \dfrac{1}{{496.501}}\\
= \dfrac{1}{5}\left( {\dfrac{5}{{1.6}} + \dfrac{5}{{6.11}} + \dfrac{5}{{11.16}} + ... + \dfrac{5}{{496.501}}} \right)\\
= \dfrac{1}{5}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{{11}} + \dfrac{1}{{11}} - \dfrac{1}{{16}} + ... + \dfrac{1}{{496}} - \dfrac{1}{{501}}} \right)\\
= \dfrac{1}{5}\left( {1 - \dfrac{1}{{501}}} \right)\\
= \dfrac{{100}}{{501}}
\end{array}$
Vậy $E = \dfrac{{100}}{{501}}$
