Lời giải:
Trên nửa mặt phẳng bờ $DH$ không chứa $A$, vẽ tam giác đều $DHN$
$\Rightarrow \begin{cases}DH = HN = ND\\\widehat{HDN}= \widehat{HND}=60^\circ\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{NDC}= 90^\circ - \widehat{ADH} - \widehat{HDN}= 90^\circ - 15^\circ - 60^\circ = 15^\circ$
Gọi $Q$ là trung điểm $CD$
$\Rightarrow AD = DQ = QC = CB = BM = MA$
$\Rightarrow \widehat{NDC}= \widehat{NDQ}= 15^\circ$
Xét $∆ADH$ và $∆QDN$ có:
$\begin{cases}AD = QD\\DH = DN\\\widehat{ADH}=\widehat{QDN}= 15^\circ\end{cases}$ (cách dựng)
Do đó $∆ADH=∆NDQ\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{NQD}=\widehat{HAD}= 90^\circ$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow NQ\perp QD$
$\Rightarrow NQ\perp CD$
$\Rightarrow NQ$ là trung trực $CD$
$\Rightarrow \begin{cases}ND = NC\\\widehat{NCD}=\widehat{NDC}= 15^\circ\end{cases}$
Xét $∆NDC$ cân tại $N$ có:
$\widehat{NDC}=\widehat{NCD}=15^\circ$
$\Rightarrow \widehat{DNC}= 180^\circ - 2.15^\circ = 150^\circ$
$\Rightarrow \widehat{HNC}= 360^\circ - \widehat{HND} - \widehat{DNC}= 360^\circ - 60^\circ - 150^\circ = 150^\circ$
$\Rightarrow \widehat{DNC}=\widehat{HNC}= 150^\circ$
Xét $∆DNC$ và $∆HNC$ có:
$\begin{cases}DN = HN\quad \text{(cách dựng)}\\NC:\ \text{cạnh chung}\\\widehat{DNC}=\widehat{HNC}\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó $∆DNC = ∆HNC\ (c.g.c)$
$\Rightarrow DC = HC$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow ∆DHC$ cân tại $C$
$\Rightarrow \widehat{DHC}=\widehat{HDC}=\widehat{HDN} + \widehat{NDC}= 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$
$\Rightarrow \widehat{DHK}=\widehat{DHC}= 75^\circ$
Mặt khác:
$∆ADM$ vuông tại $A$ có: $AM = AD$
$\Rightarrow ∆ADM$ vuông cân tại $A$
$\Rightarrow \widehat{ADM}= 45\circ$
$\Rightarrow \widehat{HDM}= \widehat{ADM}-\widehat{ADH}= 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ$
$\Rightarrow \widehat{HDK}= 30^\circ$
Xét $∆DHK$ có:
$\widehat{DKH}= 180^\circ -\widehat{DHK} -\widehat{HDK} = 180^\circ - 75^\circ - 30^\circ = 75^\circ$
$\Rightarrow \widehat{DHK}=\widehat{DKH}=75^\circ$
$\Rightarrow ∆DHK$ cân tại $D$
$\Rightarrow DH = DK$
