Đáp án: `P_{max}=8 ⇔ m=\frac{7}{2}`
Giải thích các bước giải:
Do $M(x;y)$ là giao điểm của $(d)$ và $(d')$ nên $(x;y)$ là nghiệm duy nhất của hệ:
$\large \left \{ {{y=(2m-3)x-4} \atop {x-y+2=0}} \right.⇔\large \left \{ {{y=(2m-3)x-4} \atop {x-[(2m-3)x-4]+2=0}} \right.$
$⇔\large \left \{ {{y=(2m-3)x-4} \atop {x-(2m-3)x+4+2=0}} \right.⇔\large \left \{ {{y=(2m-3)x-4(1)} \atop {(4-2m)x=-6(2)}} \right.$
Số nghiệm của hệ là số nghiệm của phương trình $(2)$
Hệ có nghiệm duy nhất $⇔$ Phương trình $(2)$ có nghiệm duy nhất
$⇔4-2m\neq0⇔m\neq2$
Ta có: `(2)⇔x=\frac{-6}{4-2m}=\frac{3}{m-2}`
Thay $x$ vào $(1)$ ta được:
`y=(2m-3).\frac{3}{m-2}-4=\frac{(6m-9)-(4m-8)}{m-2}=\frac{2m-1}{m-2}`
Ta có: `P=y^2-2x^2`
`=(\frac{2m-1}{m-2})^2-2(\frac{3}{m-2})^2`
`=\frac{(2m-1)^2-2.3^2}{(m-2)^2}=\frac{4m^2-4m-17}{(m-2)^2}`
`=\frac{(4m^2-16m+16)+(12m-24)-9}{(m-2)^2}=\frac{4(m-2)^2+12(m-2)-9}{(m-2)^2}`
`=4+\frac{12}{m-2}-\frac{9}{(m-2)^2}=8-[(\frac{3}{m-2})^2-2.\frac{3}{m-2}.2+4]`
`=8-(\frac{3}{m-2}-2)^2`
Do `(\frac{3}{m-2}-2)^2≥0`
`⇒P=8-(\frac{3}{m-2}-2)^2≤8`
Dấu bằng xảy ra `⇔(\frac{3}{m-2}-2)^2=0`
`⇔\frac{3}{m-2}-2=0⇔\frac{3}{m-2}=2`
`⇒m-2=\frac{3}{2}⇔m=\frac{7}{2}` (thỏa mãn)
