Đáp án:
$\max\ \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}=\sqrt6$
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: $a;\ b;\ c>0$
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có:
$a+b+\dfrac23\ge 2\sqrt{\dfrac23(a+b)}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\sqrt{a+b} \ \ (1)$
Tương tự:
$b+c+\dfrac23\ge 2\sqrt{\dfrac23(b+c)}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\sqrt{b+c} \ \ (2)$
$c+a+\dfrac23\ge 2\sqrt{\dfrac23(c+a)}=\dfrac{2\sqrt6}{3}\sqrt{a+c} \ \ (3)$
Cộng vế với vế của `(1);\ (2)` và `(3)`, ta có:
$\dfrac{2\sqrt6}{3}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\le 4$
$\to \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le \sqrt6$
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c=1/3`
