Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bạn tự vẽ hình nhé
$a)$ Ta có: $∠HQA=∠HMA(1)$ ($2$ góc nội tiếp chắn cung $AH$ của $(O)$)
Do $AQ//MK(GT)⇒∠HQA=∠HKM(2)$ ($2$ góc đồng vị)
Từ $(1);(2)⇒∠HMA=∠HKM=∠HKN$
Thấy tứ giác $HAMN$ nội tiếp $⇒∠HAM+∠HNM=180^o(3)$
Ta có: $∠HNM+∠HNK=180^o(4)$ ($2$ góc kề bù)
Từ $(3);(4)⇒∠HAM=∠HNK$
Xét $ΔHMA$ và $ΔHKN$ có:
$∠HMA=∠HKN(cmt)$
$∠HAM=∠HNK(cmt)$
$⇒ΔHMAᔕΔHKN$ (góc - góc) (đpcm)
$b)$ Do $ΔHMAᔕΔHKN$ (câu $a$)
`⇒\frac{HM}{HK}=\frac{HA}{HN}⇒HM.HN=HK.HA(đpcm)`
$c)$ Thấy tứ giác $HQNM$ nội tiếp
$⇒∠HQM=∠HNM(5)$ ($2$ góc nội tiếp chắn cung $HM$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $HQNM$)
Do $AQ//MK(GT)⇒∠HEA=∠HNM(6)$ ($2$ góc đồng vị)
Từ $(5);(6)⇒∠HQM=∠HEA$
Ta có: $∠HAQ=∠HMQ=∠HAE$ ($2$ góc nội tiếp chắn cung $HQ$ của $(O)$)
Xét $ΔHEA$ và $ΔHQM$ có:
$∠HEA=∠HQM(cmt)$
$∠HAE=∠HMQ(cmt)$
$⇒ΔHEAᔕΔHMQ$ (góc - góc) (đpcm)
$d)$ Thấy tứ giác $HQNM$ nội tiếp $⇒∠HMN+∠HQN=180^o(7)$
Ta có: $∠HQN+∠KQN=180^o(8)$ ($2$ góc kề bù)
Từ $(7);(8)⇒∠HMN=∠KQN=∠HMK$
Xét $ΔKQN$ và $ΔKMH$ có:
$∠K$ chung
$∠KQN=∠KMH(cmt)$
$⇒ΔKQNᔕΔKMH$ (góc - góc)
`⇒\frac{KQ}{KM}=\frac{KN}{KH}⇒KQ.KH=KM.KN(đpcm)`
