Đề bài : So sánh `\frac{a+n}{b+n}` và `\frac{a}{b}`
Giải :
* Trường hợp `1:` Nếu `a < b` thì `an < bn` (vì `n ∈ N`* nên `n > 0).`
`⇒ ab + an < ab + bn`
hay `a(b + n) < b.(a + n)` `(1)`
Mà `b > 0` và `b + n > 0.` Từ `(1)` suy ra:
`\frac{a+n}{b+n}` `>` `\frac{a}{b}`
* Trường hợp `2:` Nếu `a > b` thì `an > bn` (vì `n ∈ N`* nên `n > 0).`
⇒ `ab + an > ab + bn`
hay `a(b + n) > b.(a + n)` `(2)`
Mà `b > 0` và `b + n > 0`. Từ `(2)` suy ra:
`\frac{a+n}{b+n}` `>` `\frac{a}{b}`
* Trường hợp 3: Nếu `a = b` thì `a + n = b + n`
Suy ra : `\frac{a+n}{b+n}=1` và `\frac{a}{b}=1`
Do đó : `\frac{a+n}{b+n}` `=` `\frac{a}{b}`
