Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}≥\dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$ (1)
Dấu $=$ xảy ra khi $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$
Với $a,b ∈ R$ và $x,y>0$ ta có:$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}≥\dfrac{(a+b)^2}{x+y}$ (2)
$⇔(a^2y+b^2x)(x+y)≥xy(a+b)^2⇔(bx-ay)^2≥0$ (luôn đúng)
Dấu $=$ xảy ra khi $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$
Dùng BĐT (2) ta có:
$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}≥\dfrac{(a+b)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}≥\dfrac{(a+b+c)^2}{x+y}$
Dấu $=$ xảy ra khi $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$
Dùng BĐT (1) ta có:
$VT=\dfrac{x}{x^2-yz+2010}+\dfrac{y}{y^2-zx+2010}+\dfrac{z}{z^2-xy+2010}$
$ =\dfrac{x^2}{x(x^2-yz+2010)}+\dfrac{y^2}{y(y^2-zx+2010)}+\dfrac{z^2}{z(z^2-xy+2010)}≥\dfrac{(x+y+z)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010(x+y+z)}$ (3)
Ta có:$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
$=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)]$ (4)
Do đó:$x^3+y^3+z^3-3xyz+2010(x+y+z)$
$=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)+2010]$
$=(x+y+z)^3$ (5)
Từ (3) và (5):
$⇒VT≥\dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}=\dfrac{1}{x+y+z}$
