`1.` Bất đẳng thức Cauchy dạng tổng quát:
Với `a_1; a_2;a_3;...;a_n` không âm thì ta có :
` (a_1 + a_2 +a_3+..+a_b)/n \ge n\sqrt{a_1.a_2.a_3....a_n}`
Dấu `=` xảy ra `<=> a_1 = a_2 = a_3=...=a_n`
``
`2.` Bất đẳng thức Bunhiakopski
Với `a_1; a_2;a_3;..;a_n` và `x_1;x_2;x_3;..;x_n` không âm thì ta có :
`(a_1^2 + a_2^2 + a_3^3 +...+ a_n^2)(x_1^2 +x_2^2 + ...+x_n^2) \ge (a_1x_1 + a_2x_2 +...a_nx_n)^2`
Dấu `=` xảy ra `<=> a_1x_1 = a_2x_2 =...=a_nx_n`
``
`3. |a| + |b| \ge |a+b|`
Dấu `=` xảy ra `<=> a.b \ge 0`
``
`4. |a| - |b| \le |a-b|`
Dấu `=` xảy ra `<=> a \ ge b \ge 0` hoặc `a \le b \le 0 `
``
`5. (a+b)^2 \ge 4ab`
``
`6.` Với `a,b` dương ta có :
`a/b + b/a \ge 2`
``
`7.` Với `a.b` dương ta có :
`1/a + 1/b \ge 4/(a+b)`
``
`8. a^2/b^2 + b^2/c^2 + c^2/a^2 \ge c/b + b/a + a/c`
``
`9.` Với `a,b,c` dương ta có :
`(a+3c)/(a+b) + (a+3b)/(a+c) + (2a)/(b+c) \ge 5`
``
`10. (a-b)/(b+c) + (b-c)/(c+d) + (c-d)/(a+d) \ge (a-d)/(a+b)`
``
`11.` Với `a,b,c` là các số dương ta có :
`a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) \ge 3/2`
``
`12.` Bất đẳng thức `AM-HM`
Nếu `a_1;a_2;a_3;..;a_n` là các số thực dương thì :
`(a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)/n \ge n/(1/a_1 + 1/a_2 + 1/a_3 + ... + 1/a_n)`
``
`13.` Bất đẳng thức Minkowski
Với hai bộ số `a_1;a_2;a_3;..;a_m` và `b_1;b_2;b_3;..;b_m` ta có :
`\sqrt{a1^2 + b_1^2} + \sqrt{a_2^2 + b_2^2} +...+\sqrt{a_m^2 + b_m^2} \ge \sqrt{(a_1 +a_2 +a_3+..+a_m)^2 + (b_1 + b_2 + b_3+..+b_m)^2}`
``
`14.` Bất đẳng thức Schur
Nếu `x,y,z,t \ge 0` thì :
` x^t.(x-z).(x-y) + y^t.(y-x).(y-z) + z^t.(z-x).(z-y) \ge 0`
``
`15.` Bất đẳng thức Svaxo tổng quát
Cho hai dãy số thực dương `(a_1;a_2;a_3;..;a_n)` và `(b_1;b_2;b_3;...;b_n)`
thì ta có :
` (a_1^2)/(b_1) + (a_2^2)/(b_2) + ... + (a_n^2)/(b_n) \ge ((a_1 +a_2 +a_3 +...+a_n)^2)/(b_1 + b_2 + b_3 +...+b_n)`
Dấu `=` xảy ra `<=> a_1/b_1 = a_2/b_2 = a_3/b_3 =...= a_n/b_n`
