a)
$M$ là trung điểm $BC$
$N$ là trung điểm $AC$
$\to MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$
$\to MN\,//\,AB$ và $AB=2MN$
$\to \widehat{CMN}=\widehat{CBA}$ ( hai góc đồng vị )
Mà: $\begin{cases}\widehat{CMN}+\widehat{OMN}=90{}^\circ\\\widehat{CBA}+\widehat{HAB}=90{}^\circ\end{cases}$
Nên: $\widehat{OMN}=\widehat{HAB}$
Tương tự: $\widehat{CNM}=\widehat{CAB}$ ( hai góc đồng vị )
Mà: $\begin{cases}\widehat{CNM}+\widehat{ONM}=90{}^\circ\\\widehat{CAB}+\widehat{HBA}=90{}^\circ\end{cases}$
Nên: $\widehat{ONM}=\widehat{HBA}$
Xét $\Delta ABH$ và $\Delta MNO$, ta có:
$\begin{cases}\widehat{HAB}=\widehat{OMN}\,\,\,\left( cmt \right)\\\widehat{HBA}=\widehat{ONM}\,\,\,\left( cmt \right)\end{cases}$
$\to \Delta ABH\backsim\Delta MNO\,\,\,\left( g.g \right)$
b)
Vì $\Delta ABH\backsim\Delta MNO\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \dfrac{AH}{MO}=\dfrac{AB}{MN}=2$
$G$ là trọng tâm $\Delta ABC$
$\to \dfrac{AG}{MG}=2$
$\to \dfrac{AH}{MO}=\dfrac{AG}{MG}=2$
Ta có: $\begin{cases}AH\bot BC\\OM\bot BC\end{cases}$
$\to AH\,//\,OM$
$\to \widehat{HAG}=\widehat{OMG}$ ( hai góc so le trong )
Xét $\Delta HAG$ và $\Delta OMG$, ta có:
$\dfrac{AH}{MO}=\dfrac{AG}{MG}\,\,\,\left( cmt \right)$
$\widehat{HAG}=\widehat{OMG}\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \Delta HAG\backsim\Delta OMG\,\,\,\left( c.g.c \right)$
c)
Vì $\Delta HAG\backsim\Delta OMG\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \widehat{AGH}=\widehat{MGO}$ ( hai góc tương ứng )
Mà: $\widehat{AGH}+\widehat{MGH}=180{}^\circ $ ( hai góc kề bù )
Nên: $\widehat{MGO}+\widehat{MGH}=180{}^\circ $
$\to \widehat{HGO}=180{}^\circ $
$\to H,G,O$ thẳng hàng
Vì $\Delta HAG\backsim\Delta OMG\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \dfrac{GH}{GO}=\dfrac{AG}{MG}=2$
$\to GH=2GO$
