Lời giải:
a) Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle ABD$ vuông tại $A$ ta được:
$\quad BD^2 = AB^2 + AD^2$
$\Leftrightarrow BD^2 = 12^2 + 9^2= 225$
$\Rightarrow BD = 15\ (cm)$
Ta có:
$AB.AD = AH.BD = 2S_{ABD}$
$\Rightarrow AH =\dfrac{AB.AD}{BD}=\dfrac{12.9}{15}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{36}{5}\ (cm)$
b) Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle AHB$ vuông tại $H$ ta được:
$\quad AB^2 = AH^2 + HB^2$
$\Leftrightarrow HB^2 = AB^2 - AH^2 = 12^2 -\left(\dfrac{36}{5}\right)^2$
$\Leftrightarrow HB^ 2 =\dfrac{2304}{25}$
$\Rightarrow HB = \dfrac{48}{5}\ (cm)$
Diện tích $\triangle AHB$
$S_{\triangle AHB}=\dfrac12AH.HB =\dfrac12\cdot \dfrac{36}{5}\cdot \dfrac{48}{5}= \dfrac{864}{25}\ (cm^2)$
