Ta có : $\dfrac{1}{2 + a} + \dfrac{1}{2 + b} + \dfrac{1}{2 + c} \leq 1$
⇔ $\dfrac{(b + 2)(c+ 2) + (a+ 2)(c +2) + (a+2)(b+2)}{(a+2)(b+2)(c+2)} \leq \dfrac{(a+2)(b+2)(c+2)}{(a+2)(b+2)(c+2)}$
⇒ $(b+ 2)(c+2) + (a +2)(c+ 2) + (a+2)(b +2) \leq (a+2)(b+2)(c+2)$
⇔ $ab + bc + ac + 4a + 4b + 4c + 12 \leq abc + 2ac + 2bc + 2ab + 4c + 4a + 4b + 8$
⇔ $(ab + bc + ac) + 4(a + b +c) + 12 \leq 1 + 2(ab + bc + ac) + 4(a + b +c) + 8$
⇔ $3 \leq ab + bc + ca$ (1)
Mà áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
$ab + bc + ca \geq 3\sqrt[3]{ab.bc.ca} = 3\sqrt[3]{(abc)^2} = 3$
⇒ (1) luôn đúng
⇒ $\dfrac{1}{2 + a} + \dfrac{1}{2 + b} + \dfrac{1}{2 + c} \leq 1$ luôn đúng khi $abc = 1$
Dấu $=$ xảy ra
⇔ $\begin{cases} ab = bc = ca \\ abc = 1 \\\end{cases}$
⇒ $a = b =c $
