Lời giải:
Gọi $D,\ E$ lần lượt là giao điểm của $BH$ với $AC$ và $CH$ với $AB$
$\Rightarrow \triangle ABD$ vuông tại $D,\ \triangle ACE$ vuông tại $E$
Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:
$\begin{cases}\widehat{D}=\widehat{E}= 90^\circ\\\widehat{A}:\ \text{góc chung}\end{cases}$
Do đó: $\triangle ABD\backsim\triangle ACE\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$
$\Rightarrow AB.AE = AC.AD\quad (1)$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle AC_1B$ vuông tại $C_1$ đường cao $C_1E$ ta được:
$AC_1^2 = AE.AB\qquad (2)$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle AB_1C$ vuông tại $B_1$ đường cao $B_1D$ ta được:
$AB_1^2 = AD.AC\qquad (3)$
Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow AB_1^2 = AC_1^2$
$\Rightarrow AB_1 = AC_1$
