Đáp án:
Gia thiết :
`ΔABC` vuông tại `A`, `BH` là đường phân giác của `hat{B}`
`HE⊥BC(E∈BC)`, `EH` cắt `BA` tại `I`
Kết luận :
`a, ΔABH = ΔEBH`
`b, BH` là đường trung trực của `AE`
`c, HA ? HC`
`d, BH⊥IC` và `ΔIBC ?`
Giai
`a,`
Xét `ΔABH` và `ΔEBH` có :
`hat{BAH} = hat{BEH} = 90^o`
`BH` chung
`hat{ABH} = hat{EBH}` (giả thiết)
`-> ΔABH = ΔEBH` (cạnh huyền - góc nhọn)
$\\$
$\\$
$b,$
Do `ΔABH = ΔEBH` (chứng minh trên)
`-> AB = EB` (2 cạnh tương ứng)
`-> B` nằm trên đường trung trực của `AE` `(1)`
Do `ΔABH = ΔEBH` (chứng minh trên)
`-> AH = EH` (2 cạnh tương ứng)
`-> H` nằm trên đường trung trực của `AE` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> BH` là đường trung trực của `AE`
$\\$
$\\$
$c,$
Xét `ΔEHC` có :
`hat{EHC} = 90^o`
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`HC` là cạnh lớn nhất
`-> HC > HE`
mà `HA = HE` (chứng minh trên)
`-> HA < HC`
$\\$
$\\$
$d,$
Có : `IE⊥BC`
`->IE` là đường cao của `ΔBIC`
Có : `CA⊥BI`
`-> CA` là đường cao của `ΔBIC`
Xét `ΔBIC` có :
`IE` là đường cao
`CA` là đường cao
`IE` cắt `CA` tại `H`
`-> H` là trực tâm của `ΔBIC`
`-> BH` là đường cao
`-> BH⊥IC`
Xét `ΔAHI` và `ΔEHC` có :
`hat{AHI} = hat{EHC}` (2 góc đối đỉnh)
`HA =HE` (chứng minh trên)
`hat{IAH} = hat{CEH} = 90^o`
`-> ΔAHI = ΔEHC` (góc - cạnh - góc)
`-> AI = EC` (2 cạnh tương ứng)
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + AI = BI\\EB + EC = BC\end{array} \right.\)
mà `AB = EB, AI =EC`
`-> BI = BC`
`-> ΔIBC` cân tại `B`
