Lời giải:
a) $\triangle ABC$ có $AM$ là trung tuyến $(gt)$
$\Rightarrow MB = MC$
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:
$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AE}{EB}$
$\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{AF}{FC}$
Chia vế theo vế ta được:
$\dfrac{MC}{MB} = \dfrac{AE}{EB}\cdot\dfrac{FC}{AF}$
$\Leftrightarrow 1 = \dfrac{AE}{EB}\cdot\dfrac{FC}{AF}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AE}{EB} = \dfrac{AF}{FC}$
$\Rightarrow EF//BC\quad$ (theo định lý $Thales$ đảo)
b) Ta có:
$EF//BC\quad$ (câu a)
$\Rightarrow \begin{cases}EI//MB\\FI//MC\end{cases}$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{IE}{MB} = \dfrac{AI}{AM}$
$\dfrac{IF}{MC} = \dfrac{AI}{AM}$
$\Rightarrow \dfrac{IE}{MB} = \dfrac{IF}{MC}$
$\Rightarrow IE = IF\quad (Do\ MB = MC)$
