`a)`
Vì $(O_1)$ tiếp xúc $AB$ tại $B$
`=>AB` là tiếp tuyến tại $B$ của $(O_1)$
`=>\hat{ABM}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BM}`
`=>\hat{BDM}=\hat{ABM}` (cùng chắn cung $BM$ của $(O_1))$
Vì $(O_2)$ tiếp xúc $AC$ tại $C$
`=>AC` là tiếp tuyến tại $C$ của $(O_2)$
`=>\hat{ACM}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CM}`
`=>\hat{MDC}=\hat{ACM}` (cùng chắn cung $CM$ của $(O_2))$
$\\$
`=>\hat{BDC}+\hat{BAC}`
`=\hat{BDM}+\hat{MDC}+\hat{BAC}`
`=\hat{ABM}+\hat{ACM}+\hat{BAC}`
`=\hat{ABC}+\hat{ACB}+\hat{BAC}=180°`
Vì `\hat{BDC}; \hat{BAC}` ở vị trí đối nhau
`=>ABDC` nội tiếp
Mà `A;B;C\in (O)`
`=>D\in (O)`
$\\$
`b)` Gọi $E$ là giao điểm của $MD$ và $(O)$ ($E\ne D$)
Ta có:
`\qquad hat{EMC}` là góc ngoài $∆DCM$
`=>\hat{EMC}=\hat{MDC}+\hat{MCD}`
`=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MC}+1/ 2sđ\stackrel\frown{MD}`
`=1/ 2 sđ\stackrel\frown{CD}`
Mà `\hat{ACD}=1/ 2sđ\stackrel\frown{CD}` (chắn cung $CD$ của $(O_2)$)
`=>\hat{EMC}=\hat{ACD}`
Ta lại có:
`\qquad \hat{ACD}=\hat{AED}` (cùng chắn cung $AD$ của $(O)$)
`=>\hat{EMC}=\hat{AED}`
Vì `\hat{EMC};\hat{AED}` ở vị trí so le trong
`=>AE`//$BC$
Vì $∆ABC$ nội tiếp $(O)$
`=>A; B; C` cố định
Mà `E\in (O); AE`//$BC$
`=>E` cố định
Vậy `MD` luôn đi qua điểm $E$ cố định khi $M$ thay đổi trên $BC$
