`a)` $CD$ là đường kính của $(O)$ và $CD\perp AB$ (gt)
`=>\stackrel\frown{AD}=\stackrel\frown{BD}` (đường kính vuông góc dây cung đi qua điểm chính giữa cung đó)
Ta có:
`\hat{FNI}=1/ 2sđ\stackrel\frown{DN}` (góc tao bởi tiếp tuyến dây cung)
`\hat{IFN}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{AD}+sđ\stackrel\frown{BN})` (góc có đỉnh bên trong đường tròn)
`=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{BD}+sđ\stackrel\frown{BN}) =1/ 2sđ\stackrel\frown{DN}`
`=>\hat{FNI}=\hat{IFN}`
`=>∆FNI` cân tại $I$
`=>IN=IF` $(1)$
Ta có:
`\hat{DNC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>DN`$\perp CN$
`=>\hat{DNE}=90°`
`=>\hat{FNI}+\hat{INE}=90°`
`=>\hat{IFN}+\hat{INE}=90°`
Mà `\hat{IFN}+\hat{IEN}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{INE}=\hat{IEN}`
`=>∆INE` cân tại $I$
`=>IN=IE` $(2)$
Từ `(1);(2)=>IE=IF`
`=>AF+AE`
`=AF+AF+IF+IE`
`=2AF+2IF=2(AF+IF)=2AI`
Vậy `AE+AF=2AI`
$\\$
`b)` Xét $∆ENF$ và $∆EHC$ có:
`\qquad \hat{E}` chung
`\qquad \hat{ENF}=\hat{EHC}=90°`
`=>∆ENF∽∆EHC` (g-g)
`=>{EF}/{EC}={EN}/{EH}`
`=>EF.EH=EN.EC` $(3)$
$\\$
Xét $∆EAN$ và $∆ECB$ có:
`\qquad \hat{E}` chung
`\qquad \hat{EAN}=\hat{ECB}` (cùng chắn cung $BN$)
`=>∆EAN∽∆ECB` (g-g)
`=>{EN}/{EB}={AE}/{CE}`
`=>AE.BE=EN.EC` $(4)$
Từ `(3);(4)=>AE.BE=EF.EH`
