Đáp án:
a) $ \widehat{(AC;(SBC))} =\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{14}}{7}\right)$
b) $\widehat{((SBC);(ABC))} =45^\circ$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\begin{cases}SA\perp BC\quad (SA\perp (ABC))\\BC\perp AB\quad (gt)\\SA\cap AB=\{A\}\end{cases}$
$\Rightarrow BC\perp (SAB)$
$\Rightarrow BC\perp AH$
Khi đó:
$\begin{cases}AH\perp SB\quad (gt)\\BC\perp AH\quad (cmt)\\SB\cap BC=\{B\}\end{cases}$
$\Rightarrow AH\perp (SBC)$
$\Rightarrow H$ là hình chiếu của $A$ lên $(SBC)$
$\Rightarrow HC$ là hình chiếu của $AC$ lên $(SBC)$
$\Rightarrow \widehat{(AC;(SBC))} = \widehat{ACH}$
Xét $\triangle SAB$ vuông tại $A$ có:
$AB = SA = 2a$
$\Rightarrow \triangle SAB$ vuông cân tại $A$
$\Rightarrow \begin{cases}SB = 2a\sqrt2\\AH = HB = HC = a\sqrt2\end{cases}$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle ABC$ vuông tại $B$ ta được:
$\quad AC^2 = AB^2 +BC^2$
$\Leftrightarrow AC^2 = 4a^2 + 3a^2$
$\Leftrightarrow AC^2 = 7a^2$
$\Rightarrow AC = a\sqrt7$
Ta có: $AH\perp (SBC)\quad (cmt)$
$\Rightarrow AH\perp HC$
$\Rightarrow \triangle AHC$ vuông tại $H$
$\Rightarrow \sin\widehat{ACH} = \dfrac{AH}{AC} = \dfrac{a\sqrt2}{a\sqrt7} = \dfrac{\sqrt{14}}{7}$
$\Rightarrow \widehat{ACH} = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{14}}{7}\right)$
Vậy $ \widehat{(AC;(SBC))} =\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{14}}{7}\right)$
b) Ta có:
$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\BC\perp SB\quad (BC\perp (SAB))\\SB\subset (SBC)\\AB\perp BC\quad (gt)\\AB\subset (ABC)\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SBA} = 45^\circ\quad (\triangle SAB$ vuông cân tại $A)$
Vậy $\widehat{((SBC);(ABC))} =45^\circ$
