Lời giải:
a) Xét $\triangle AHB$ và $\triangle CAB$ có:
$\begin{cases}\widehat{H} = \widehat{A} = 90^\circ\\\widehat{B}:\ \text{góc chung}\end{cases}$
Do đó: $\triangle AHB\backsim \triangle CAB\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{AB}$
$\Rightarrow AB^2 = BH.BC$
b) Xét $\triangle AHC$ và $\triangle BAC$ có:
$\begin{cases}\widehat{H} = \widehat{A} = 90^\circ\\\widehat{C}:\ \text{góc chung}\end{cases}$
Do đó: $\triangle AHC\backsim \triangle BAC\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{CH}{AC}$
$\Rightarrow AC^2 = CH.BC$
c) Xét $\triangle AHN$ và $\triangle CMA$ có:
$\begin{cases}\widehat{HAN} = \widehat{MCA}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{HAC}$)}\\\widehat{ANH} = \widehat{MAC}\quad \text{(cùng phụ $\widehat{MAB}$)}\end{cases}$
Do đó: $\triangle AHN\backsim \triangle CMA\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AH}{CM}$
$\Rightarrow \dfrac{AN}{AH} = \dfrac{AC}{CM}\qquad (1)$
Ta lại có: $\triangle AHB\backsim \triangle CHA\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{CH} = \dfrac{AB}{AC}$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{CH}{AC}\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow \dfrac{AN}{AH}\cdot\dfrac{AH}{AB} = \dfrac{AC}{CM}\cdot\dfrac{CH}{AC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AN}{AB} = \dfrac{CH}{CM} = \dfrac{3}{2}$
hay $\dfrac{AB}{AN} = \dfrac23$
Xét $\triangle AHK$ có:
$AN$ là trung tuyến $(NH = NK)$
$B\in AN$
$\dfrac{AB}{AN} = \dfrac23\quad (cmt)$
$\Rightarrow B$ là trọng tâm của $\triangle AHK$
$\Rightarrow HB$ là trung tuyến
$\Rightarrow AI = IK$
hay $AK = 2IK$
