Lời giải:
a) Xét tứ giác $ADHE$ có:
$\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}= 90^\circ$
Do đó $ADHE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{HAD}=\widehat{HAB}$
mà $\widehat{HAB}=\widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$)
nên $\widehat{ADE}=\widehat{ACB}$
Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ACB$ có:
$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó $\triangle ADE\backsim \triangle ACB\ (g.g)$
b) Ta có:
$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow MA = MB = MC =\dfrac12BC$
$\Rightarrow \triangle MAB$ cân tại $M$
$\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{ABM}$
Hay $\widehat{MAD}=\widehat{ABC}$
Do đó:
$\widehat{MAD} +\widehat{ADE}$
$=\widehat{ABC} + \widehat{ACB}$
$= 90^\circ$
$\Rightarrow AM\perp DE$
c) Ta có:
$\triangle ADE\backsim \triangle ACB$ (câu a)
$\Rightarrow \dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2$
$\Rightarrow \dfrac{2S_{ADE}}{S_{ABC}}=2\left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2$
$\Rightarrow \dfrac{S_{ADHE}}{S_{ABC}}=2\left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2$
Ta lại có:
$S_{ADHE}= \dfrac12S_{ABC}$
$\Rightarrow \dfrac{S_{ADHE}}{S_{ABC}}=\dfrac12$
Do đó:
$2\left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2=\dfrac12$
$\Rightarrow \left(\dfrac{DE}{BC}\right)^2=\dfrac14$
$\Rightarrow \dfrac{DE}{BC}=\dfrac12$
$\Rightarrow \dfrac{AH}{BC}=\dfrac12$
Bên cạnh đó: $\dfrac{AM}{BC}=\dfrac12$
$\Rightarrow AH = AM$
$\Rightarrow M\equiv H$
$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông cân tại $A$
