Ta có:
`\qquad \hat{BAC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>\hat{EAF}=90°`
`\qquad `$HE\perp AB$ tại $E$
`=>\hat{AEH}=90°`
`\qquad `$HF\perp AC$ tại $F$
`=>\hat{AFH}=90°`
`=>\hat{EAF}=\hat{AEH}=\hat{AFH}=90°`
`=>AEHF` là hình chữ nhật
`=>AEHF` là tứ giác nội tiếp (vì có tổng hai góc đối $180°$) và $AE$//$HF$
`=>\hat{EAH}=\hat{EFH}` (cùng chắn cung $EH$)
Mà `\hat{AEF}=\hat{EFH}` (hai góc so le trong)
`=>\hat{AEF}=\hat{EAH}` $(1)$
$\\$
Ta có:
`\qquad \hat{EAH}=\hat{ACB}` (cùng phụ `\hat{ABH}`)
`=>\hat{EAH}=\hat{ACO}`
Mà `OA=OC=R`
`=>∆OAC` cân tại $O$
`=>\hat{OAC}=\hat{ACO}`
`=>\hat{EAH}=\hat{OAC}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{AEF}=\hat{OAC}`
$\\$
Gọi $D$ là giao điểm $OA$ và $EF$
Vì `\hat{EAF}=90°`
`=>\hat{EAD}+\hat{OAC}=90°`
`=>\hat{EAD}+\hat{AEF}=90°`
`=>\hat{EAD}+\hat{AED}=90°`
$\\$
`=>\hat{ADE}=180°-(\hat{EAD}+\hat{AED})`
`=180°-90°=90°`
`=>OA`$\perp EF$
