a) Xét tứ giác BHMK: H+ K = 900 + 900 = 1800
=> Tứ giác BHMK nội tiếp đường tròn.
CM tương tự có tứ giác CHMI cũng nội tiếp được.
b) Ta có B+HMK =C+HMI = 180⁰
mà B=C > HMK=HMI (1)
KBM=BCM, KBM =KHM (vì 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MK và góc tạo bởi tia tt ... và góc nội tiếp cùng chắn cung BM).
HCM = HIM (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn HM) = KHM=HIM (2).
Từ (1), (2) => AHMK - AIMH (g.g) =>$\frac{MH}{MI}$ = $\frac{MK}{MH}$ => $MH^{2}$ = MI. MK(dpcm)
c) Ta có PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tiếp tuyến)
Xét chu vi AAPQ = AP + AQ+PQ = AP+AQ+PM+QM
=(AP+PB)+(AQ+QC)=AB+ AC = 2AB không đổi.
Vì A cố định và đường tròn (O) cho trước nên chu vi AAPQ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M (dpcm).