Đáp án:
`a)` `S={-9;1}`
`c)` `m=-1/ 2`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2-2(m+1)x+m-4=0`
`a)` Với `m=-5` phương trình trở thành:
`\qquad x^2-2.(-5+1)x-5-4=0`
`<=>x^2+8x-9=0` (*)
Ta có: `a+b+c=1+8-9=0`
`=>` (*) có hai nghiệm: `x_1=1;x_2=c/a=-9`
Vậy với `m=-5` phương trình có tập nghiệm là:
`\qquad S={-9;1}`
$\\$
`b)` `x^2-2(m+1)x+m-4=0` $(1)$
`∆'=b'^2-ac=[-(m+1)]^2-1.(m-4)`
`∆'=m^2+2m+1-m+4=m^2+m+5`
`∆'=m^2+2m. 1/2+1/4+{19}/4`
`∆'=(m+1/2)^2+{19}/4`
Với mọi `m` ta có:
`\qquad (m+1/ 2)^2\ge 0`
`=>(m+1/2)^2+{19}/4\ge {19}/4>0`
`=>∆'>0` với mọi `m`
`=>` Phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi `m`
$\\$
`c)` Với `x_1;x_2` là hai nghiệm của `(1)`
Theo hệ thức Viet ta có:
$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m+1)=2m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-4\end{cases}$
Ta có:
`\qquad (x_1-x_2)^2`
`=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2`
`=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2`
`=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2`
`=(2m+2)^2-4(m-4)`
`=4m^2+8m+4-4m+16`
`=4m^2+4m+20`
`=4m^2+4m+1+19`
`=(2m+1)^2+19`
Với mọi `m` ta có:
`\qquad (2m+1)^2\ge 0`
`=>(2m+1)^2+19\ge 19`
`=>(x_1-x_2)^2\ge 19` với mọi `m`
`=>|x_1-x_2|\ge \sqrt{19}` với mọi `m`
Dấu "=" xảy ra khi `(2m+1)^2=0<=>m=-1/ 2`
Vậy với `m=-1/2` thì `|x_1-x_2|` có $GTNN$ bằng `\sqrt{19}`
