Lời giải:
a) Xét $ΔHAC$ vuông tại $H$ và $ΔABC$ vuông tại $A$, có:
$\widehat{C}$ chung
$\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^0$
$⇒$ $ΔHAC$ ~ $ΔABC$ ( g - g ) (*)
b) Áp dụng định lý Pytago vào $Δ ABC$ vuông tại $A$, có:
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(cm)$
Ta có: $ΔHAC$ ~ $ΔABC$ (từ a)
$⇒\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}$
$⇒\frac{8}{10}=\frac{HC}{8}$
$⇒HC=\frac{8.8}{10}=6,4(cm)$
c) Xét $ΔABD$ vuông tại $A$ và $ΔHBI$ vuông tại $H$, có:
$\widehat{BAD}=\widehat{BHI}=90^0$
$\widehat{ABD}=\widehat{HBI}$ ($BD$ là đường phân giác $\widehat{ABC}$)
$⇒ΔABD$ ~ $ΔHBI$ ( g - g )
$⇒\frac{AB}{HB}=\frac{BD}{BI}$
$⇒ AB.BI=BD.HB$
d) Xét $ΔHBA$ vuông tại $H$ và $ΔABC$ vuông tại $A$, có:
$\widehat{ABC}$ chung
$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0$
$⇒ΔHBA$ ~ $ΔABC$ ( g - g ) (**)
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔHAC$ vuông tại $H$, có:
$AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=\sqrt{8^2-6,4^2}=4,8(cm)$
Từ (*) và (**) suy ra:
$ΔHAC$ ~ $ΔHBA$
$⇒\frac{HA}{HB}=\frac{HC}{HA}$
$⇒\frac{4,8}{10-6,4}=\frac{6,4}{4,8}= 1,(3)$
$⇒ΔHAC$ ~ $ΔHBA$ theo tỉ số đồng dạng $k=1,(3)$
$⇒\frac{S_{HAC}}{S_{HBA}}=1,(3)^2=1,(7)$
