Đáp án: $b)PQ=12,5cm$
$S_{MFQ}=24cm^2$
Giải thích các bước giải:
Bạn tự vẽ hình nhé
$a)$ Do tứ giác $MNPQ$ là hình thang vuông tại $M;Q$
$⇒MN//PQ⇒∠MNQ=∠NQP(2$ góc so le trong)
Do tứ giác $MNPQ$ là hình thang vuông tại $M⇒∠NMQ=90^o$
Ta có: $NQ⊥NP⇒∠PNQ=90^o$
Xét $ΔMNQ$ và $ΔNQP$ có:
$∠QMN=∠PNQ=90^o$
$∠MNQ=∠NQP(cmt)$
$⇒ΔMNQᔕΔNQP$ (góc - góc) (đpcm)
$b)$ Xét $ΔMNQ$ vuông tại $M$
$⇒NQ^2=MN^2+MQ^2$ (định lí Pytago)
$⇒NQ^2=8^2+6^2=100$
$⇒NQ=10cm$ (do $NQ>0$)
Do $ΔMNQᔕΔNQP$ (câu a)
`⇒\frac{MN}{NQ}=\frac{NQ}{QP}`
`⇒QP=\frac{NQ^2}{MN}=\frac{10^2}{8}=12,5(cm)`
$c)$ Xét $ΔFQP$ có $MN//PQ$
`⇒\frac{MN}{PQ}=\frac{NF}{QF}` (hệ quả định lí Ta-lét)
`⇒\frac{NF}{QF}=\frac{8}{12,5}=\frac{16}{25}`
`⇒\frac{NF}{QF}+1=\frac{16}{25}+1⇒\frac{QN}{QF}=\frac{41}{25}`
`⇒\frac{QF}{QN}=\frac{25}{41}`
Xét $ΔNPQ$ vuông tại $N$
$⇒PQ^2=NQ^2+NP^2$ (định lí Pytago)
$⇒12,5^2=10^2+NP^2$
$⇒NP^2=56,25$
$⇒NP=7,5(cm)$ (do $NP>0$)
Do $ΔMNQ$ và $ΔNPQ$ không có điểm chung
$⇒S_{MNPQ}=S_{MNQ}+S_{NPQ}$
`=\frac{MN.MQ}{2}+\frac{NQ.NP}{2}=\frac{8.6}{2}+\frac{10.7,5}{2}=61,5(cm^2)`
Ta có:
`\frac{S_{MQF}}{S_{MQN}}=\frac{QF}{QN}` (chung chiều cao hạ từ $M$)
`\frac{S_{MQN}}{S_{MQPN}}=\frac{MN}{QP}` (chiều cao là đường cao hình thang)
`⇒\frac{S_{MQF}}{S_{MQN}}.\frac{S_{MQN}}{S_{MQPN}}=\frac{QF}{QN}.\frac{MN}{QP}`
`⇒S_{MQF}=\frac{QF}{QN}.\frac{MN.S_{MNPQ}}{QP}=\frac{25}{41}.\frac{8.61,5}{12,5}=24(cm^2)`
