Đáp án:
Câu 1: ${v_{tb}} = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}$
Câu 2: ${v_{tb}}' = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2}$
${v_{tb}} \le {v_{tb}}'$
Giải thích các bước giải:
Câu 1: Vận tốc trung bình là:
${v_{tb}} = \dfrac{{{s_1} + {s_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} = \dfrac{s}{{\dfrac{{\dfrac{s}{2}}}{{{v_1}}} + \dfrac{{\dfrac{s}{2}}}{{{v_2}}}}} = \dfrac{s}{{s\left( {\dfrac{1}{{2{v_1}}} + \dfrac{1}{{2{v_2}}}} \right)}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{{2{v_1}{v_2}}}}} = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2} - {v_{tb}} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2} - \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}\\
= \dfrac{{{{\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}^2} - 2.2{v_1}{v_2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\\
= \dfrac{{{v_1}^2 + 2{v_1}{v_2} + {v_2}^2 - 4{v_1}{v_2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\\
= \dfrac{{{v_1}^2 - 2{v_1}{v_2} + {v_2}^2}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\\
= \dfrac{{{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}} \ge 0
\end{array}$
$\dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2} - {v_{tb}} \ge 0 \Rightarrow {v_{tb}} \le \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2}$
Vậy vận tốc trung bình không lớn hơn trung bình cộng vận tốc.
Câu 2: Vận tốc trung bình lúc này là:
${v_{tb}}' = \dfrac{{{s_1} + {s_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} = \dfrac{{{v_1}.\dfrac{t}{2} + {v_2}.\dfrac{t}{2}}}{t} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2}$
Vậy vận tốc trung bình trong trường hợp này đúng bằng trung bình cộng của vận tốc. Mà câu 1 ta đã chứng minh rằng vận tốc trung bình ở câu 1 không lớn hơn trung bình cộng.
Do đó vận tốc trung bình ở câu 1 không lớn hơn vận tốc trung bình ở câu 2.
