Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Kẻ phân giác $CD ⇒ ΔADC$ cân tại $C ⇒ CD = CA = b$
Trên $BC$ lấy $CE = CA = b ⇒ BE = a - b$
Vẽ $DF⊥BC$ tại $F $.
Đặt $x = CF; y = DF ⇒ BD = 2y $ (vì $Δ$ vuông $BDF$ có $∠B = 30^{0}$
Từ cách dựng trên dễ cm $∠BDE = 40^{0} = ∠BCD$
$ ⇒ ΔBCD $ đồng dạng $ΔBDE (g.g)$
$ ⇔ \dfrac{BC}{BD} = \dfrac{BD}{BE} ⇔ a(a - b) = 4y² (1)$
Mặt khác theo Py ta go:
$ CD² = CF² + FF² ⇔ b² = x² + y² ⇔ 4b² - 4x² = 4y²(2)$
$ BF² + DF² = BD² ⇔ (a - x)² + y² = 4y²$
$ ⇔ a² - 2ax + x² + y² = 4y² ⇔ a² - 2ax + b² = 4y² (3)$
Lấy $(1) - (2)$ vế với vế :
$ 4x² + a² - ab - 4b² = 0 ⇔ 4a²x² = - a^{4} + a³b + 4a²b²(*)$
Lấy $(1) - (3)$ vế với vế :
$ 2ax - b² - ab = 0 ⇔ 2ax = b² + ab ⇔ 4a²x² = b^{4} + 2ab³ + a²b² (**)$
$(**) - (*): a^4 - a³b - 3a²b² + 2ab³ + b^{4} = 0$
$ ⇔ a^4 - ab³ - 3a²b² - a³b + b^{4} + 3ab³ = 0$
$ ⇔ (a - b)(a³ - b³ - 3ab²) = 0$
$ ⇔ a³ - b³ - 3ab² = 0 $ (vì $ a > b ⇔ a - b > 0$)
$ ⇔ a³ - b³ = 3ab² (đpcm)$
