Đáp án:
a ) Ta có :
$a^{2}$ + $b^{2}$ - 2ab = $( a - b )^{2}$
Vì $( a - b )^{2}$ $\geq$ 0 ; ∀ a , b
=> $a^{2}$ + $b^{2}$ - 2ab $\geq$ 0
Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b
b ) Ta có :
$\frac{a^{2}+ b^{2}}{2}$ - ab
= $\frac{a^{2}+ b^{2} - 2ab}{2}$
= $frac{(a - b )^{2}}{2}$
Vì $( a - b )^{2}$ $\geq$ 0 ( ∀ a ,b ) , 2 > 0
⇔ $\frac{(a - b )^{2}}{2}$ $\geq$ 0
⇔ $\frac{a^{2}+ b^{2}}{2}$ - ab $\geq$ 0
⇔ $\frac{a^{2}+ b^{2}}{2}$ $\geq$ ab
Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b
c ) Ta có :
a( a + 2 ) - $( a + 1 )^{2}$
= $a^{2}$ + 2a - $a^{2}$ - 2a - 1
= -1
Vì - 1 < 0 ( luôn đúng )
=> $a^{2}$ + 2a - $a^{2}$ - 2a - 1 < 0
=> $a^{2}$ + 2a < $a^{2}$ + 2a + 1
=> a( a + 2 ) < $( a + 1 )^{2}$ ( đpcm )
d ) Ta có :
$( m -1 )^{2}$ $\geq$ 0 , ∀m
$( n -1 )^{2}$ $\geq$ 0 , ∀n
=> $( m -1 )^{2}$ + $( n -1 )^{2}$ $\geq$ 0
=> $m^{2}$ - 2m + 1 + $n^{2}$ - 2n + 1 $\geq$ 0
=> $m^{2}$ + $n^{2}$ + 2 $\geq$ 2n + 2m
=> $m^{2}$ + $n^{2}$ + 2 $\geq$ 2(n + m)
Dấu " = " xảy ra ⇔ m = n = 1
e ) Áp dụng bđt cô si cho 2 số a , b > 0 :
a + b $\geq$ 2.$\sqrt[]{ab}$
Áp dụng bđt cô si cho 2 số $\frac{1}{a}$ , $\frac{1}{b}$ > 0 :
$\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq$ 2.$\sqrt[]{\frac{1}{a}\frac{1}{b}}$
Nhân vế với vế ta có :
($\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$).( a + b ) $\geq$ 4.$\sqrt[]{\frac{1}{a}\frac{1}{b}.a . b}$
=>($\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$).( a + b ) $\geq$ 4.$\sqrt[]{\frac{a}{a}\frac{b}{b}}$
=>($\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$).( a + b ) $\geq$ 4.1
=> ($\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$).( a + b ) $\geq$ 4
Dấu " = " xảy ra ⇔ a =b
