Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đây là bài toán khá khó khăn.
Ta sẽ cm $IT; MT $ cùng vuông góc với $AN$
Để dễ nhìn chia làm 2 bài toán nhỏ
1) Chứng minh $IT⊥AN$ (hình 1)
Xét 2 tam giác $IAH$ và $ABC$ có các cặp cạnh tương
ứng vuông góc nhau $IA⊥AB; AH⊥BC; HI⊥CA$
$( ΔIAH$ dồng dạng $ΔABC)$
$ ⇒2$ trung tuyến tương ứng $IT⊥AN (*)$
2) Chứng minh $MT⊥AN$ (hình 2)
$AH∩EF = G; TN∩EF = K; AO∩BC = P$
$ ⇒ AP⊥EF (1)$ ( bài toán kinh điển, bạn tự cm)
Lại có $:TE = TF = \dfrac{AH}{2}; NE = NF = \dfrac{BC}{2}$
$ ⇒ TN$ là trung trực $EF ⇒ TN⊥EF (2)$
$(1); (2) ⇒ TN//AP$
Mặt khác dễ cm $NE⊥TE$ ( bài toán kinh điển, bạn tự cm)
và do $DGKNnt ⇒ TG.TD = TK.TN = TE² = TA²$
$ ⇔ \dfrac{TG}{TA} = \dfrac{TA}{TD} = \dfrac{NP}{ND}⇔\dfrac{AG}{TA} = \dfrac{DP}{ND} (3)$
Do $ MA⊥AD; MG⊥AP $
$ ⇒ ΔMAG$ đồng dạng $ΔADP ⇒ \dfrac{MA}{AG} = \dfrac{AD}{DP} (4)$
$(3).(4) $ vế với vế $: \dfrac{MA}{TA} = \dfrac{AD}{ND} $
$ ⇒ ΔMAT$ đồng dạng $ΔADN ⇒ MT⊥AN (**)$
Từ $(*); (**) ⇒ M; I; T$ thẳng hàng (đpcm)
