`a)` Vì $DE\perp AC$ tại $H$
`=>\hat{DHC}=90°`
Ta có:
`\qquad \hat{BKC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>CK`$\perp DB$ tại $K$
`=>\hat{DKC}=90°`
`=>\hat{DHC}+\hat{DKC}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{DHC};\hat{DKC}` ở vị trí đối nhau
`=>DHCK` nội tiếp
$\\$
`b)` Vì $AB\perp DE$ tại $H$
`=>H` là trung điểm $DE$ (đường kính vuông góc tại trung điểm dây cung)
Xét tứ giác $ADCE$ có:
$\quad AC\perp DE$ tại $H$
$\quad H$ là trung điểm của $AC$
$\quad H$ là trung điểm của $DE$
`=>ADCE` là hình thoi
(Tứ giác có $2$ đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường là hình thoi)
`=>AD`//$EC$ $(1)$
Ta có:
`\qquad \hat{ADE}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>AD`$\perp DB$ $(2)$
Từ `(1);(2)=>EC`$\perp DB$
Mà $CK\perp DB$ (câu a)
`=>E;C; K` thẳng hàng
$\\$
`c)` Vẽ đường kính $MI$ của $(O)$
Ta có:
`\qquad \hat{MNI}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$)
`=>MN`$\perp IN$
Vì $MN\perp DE$ (gt)
`=>IN`//$DE$
`=>\stackrel\frown{DN}=\stackrel\frown{EI}` (hai dây song song chắn hai cung bằng nhau)
`=>DN=EI` (liên hệ dây và cung)
Ta có: $MI=AB$ (đường kính của $(O)$)
`\qquad \hat{MEI}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$)
`=>∆MEI` vuông tại $E$
`=>EM^2+EI^2=MI^2` (định lý Pytago)
`=>EM^2+DN^2=AB^2` (vì $EI=DN; MI=AB$)
