Đáp án:
`a)` `m>{17}/8`
`b)` `m>1+\sqrt{3}`
Giải thích các bước giải:
`a)` Phương trình hoành độ giao điểm của `(P)y=1/ 2 x^2` và `(d)y=-mx-1/ 2 m^2+m+1` là:
`\qquad 1/ 2 x^2=-mx-1/ 2 m^2+m+1`
`<=>x^2=-2mx-m^2+2m+2`
`<=>x^2+2mx+m^2-2m-2=0` (*)
Ta có:
`∆'=b'^2-ac=m^2-1.(-2m-2)`
`=m^2+2m+2=(m+1)^2+1\ge 1>0` với mọi `m`
`=>` Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi `m`
`=>(d)` luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi `m`
Theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=-2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-2m-2\end{cases}$
Để `|x_1-x_2|=5`
`<=>(x_1-x_2)^2=25`
`<=>x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=25`
`<=>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2=25`
`<=>(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=25`
`<=>(-2m)^2-4.(m^2-2m-2)=25`
`<=>4m^2-4m^2+8m+8=25`
`<=>8m=17`
`<=>m={17}/8`
Vậy `m={17}/8` thỏa đề bài
$\\$
`b)` Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung
`=>∆'>0\ (luôn\ đúng); x_1<0;x_2<0`
`=>`$\begin{cases}x_1+x_2<0\\x_1x_2>0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}-2m<0\\m^2-2m-2>0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m>0\\m^2-2m+1-3>0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}m>0\\(m-1)^2>3\end{cases}$
`<=>`$\left\{\begin{matrix}m>0\\\left[\begin{array}{l}m-1>\sqrt{3}\\m-1<-\sqrt{3}\end{array}\right. \end{matrix}\right.$
`<=>`$\left\{\begin{matrix}m>0\\\left[\begin{array}{l}m>1+\sqrt{3}\\m<1-\sqrt{3}\end{array}\right.\end{matrix}\right. $`=>m>1+\sqrt{3}`
Vậy `m>1+\sqrt{3}` thỏa đề bài
